Legge uniforme

$a = $ $1.0$

$b = $ $4.0$

Definizione e descrizione

**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge uniforme_ su $[a,b]$ con $a < b$ se ha funzione di densità di probabilità data da $$ f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{per } x \in [a,b], \qquad f(x) = 0 \quad \text{per } x \notin [a,b]. $$

Notazione. $X \sim \mathrm{U}(a,b)$.

Fenomeni modellati. La legge uniforme descrive situazioni in cui tutti i sottointervalli di uguale lunghezza in un intervallo sono equiprobabili. Alcuni esempi:

istante di arrivo casuale in un intervallo di tempo
posizione casuale lungo un segmento
errore di misura uniforme tra due estremi
…

Simulazione

$a = $ $1.0$

$b = $ $4.0$

Esito: -

Esperimenti eseguiti: 0

Ampiezza bin = $0.50$ Mostra densita della legge

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere gli estremi $a$ e $b$ della distribuzione con lo slider doppio.
Campionare la variabile aleatoria $X \sim \mathrm{U}(a,b)$ con il pulsante.
Osservare i punti dei campioni sull’asse e l’istogramma delle densità delle frequenze relative.
Modificare l’ampiezza dei bin per cambiare la precisione dell’istogramma.
Premere il pulsante “Reset” per azzerare i risultati.

Calcolatore di probabilità

$a = $ $1.0$

$b = $ $4.0$

$x_1 = $ $1.50$

$x_2 = $ $3.50$

$\displaystyle \mathbb{P}(\{x_1 \leq X \leq x_2\}) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d} x =$

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere gli estremi $a$ e $b$ della distribuzione con lo slider doppio.
Impostare i valori di $x_1$ e $x_2$ con lo slider doppio (anche fuori da $[a,b]$).
Osservare l’area colorata e la probabilità calcolata.

Valore atteso e varianza

$a = $ $1.00$

$b = $ $4.00$

$\mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2} = $ $2.50$

$\mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = $ $0.75$