Legge t-Student

$n = $ $5$

Definizione e descrizione

**Definizione.** Una variabile aleatoria $T_n$ si dice distribuita con _legge t-Student_ con $n$ gradi di libertà se ha densità $$ f_{T_n}(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, \quad t \in \mathbb{R}. $$

Notazione. $T_n \sim t(n)$.

Fenomeni modellati. La legge t-Student ha una forma a campana simile alla normale, ma con code più pesanti. Compare in statistica quando la varianza della popolazione non è nota. Alcuni esempi:

test di ipotesi sulla media con varianza ignota
intervalli di confidenza per la media
…

Simulazione

$n = $ $5$

Esito: -

Esperimenti eseguiti: 0

Ampiezza bin = $0.25$ Mostra densita della legge

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere i gradi di libertà $n$ con lo slider.
Campionare la variabile aleatoria $T_n \sim t(n)$ con il pulsante.
Osservare i punti dei campioni sull’asse e l’istogramma delle densità delle frequenze relative.
Modificare l’ampiezza dei bin per cambiare la precisione dell’istogramma.
Premere il pulsante “Reset” per azzerare i risultati.

Calcolatore di probabilità

$n = $ $5$

$x_1 = $ $-1.00$

$x_2 = $ $1.00$

$\displaystyle \mathbb{P}(\{x_1 \leq T_n \leq x_2\}) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f_{T_n}(t) \, \mathrm{d} t =$

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere i gradi di libertà $n$ con lo slider.
Impostare i valori di $x_1$ e $x_2$ con lo slider doppio.
Osservare l’area colorata e la probabilità calcolata.

Valore atteso e varianza

$n = $ $5$

$\mathbb{E}[T_n] = 0 \ (n > 1) = $ $0.00$

$\mathrm{Var}(T_n) = \frac{n}{n-2} \ (n > 2) = $ $1.67$