Legge di Poisson
$\lambda = $
$3.0$
Definizione e descrizione
**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge di Poisson_ con parametro $\lambda > 0$ se il suo range è $R(X) = \mathbb{N} = \\{0, 1, 2, \ldots\\}$ e
$$
\mathbb{P}(\\{X = k\\}) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad \text{per }k = 0, 1, 2, \ldots
$$
Notazione. $X \sim \mathrm{P}(\lambda)$.
Fenomeni modellati. La legge di Poisson modella il numero di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio. Alcuni esempi:
numero di chiamate in un centralino in un’ora
numero di difetti in un metro di cavo
numero di errori tipografici per pagina
…
Serie di Taylor dell’esponenziale
Ordine
$2$
Mostra errore
Limite di una binomiale
$\lambda = $
$3.0$
Mostra diagramma a barre della legge di Poisson
–
Istruzioni :
Scegliere il valore di $\lambda$ e $n$ con gli slider.
Il valore di $p$ viene calcolato automaticamente come $p = \frac{\lambda}{n}$.
Osservare come il diagramma a barre della legge binomiale si allinea a quello della legge di Poisson al crescere di $n$.
Simulazione
$\lambda = $
$3.0$
Campiona $X \sim \mathrm{P}(\lambda)$
Reset
Esito: -
Esperimenti eseguiti: 0
Mostra diagramma a barre della legge
–
Istruzioni :
Scegliere il valore del parametro $\lambda$ tramite lo slider.
Campionare la variabile aleatoria $X \sim \mathrm{P}(\lambda)$ per osservarne gli esiti.
Il diagramma a barre delle frequenze relative viene aggiornato automaticamente.
Tenere premuto il bottone per campionare ripetutamente.
Osservare come il diagramma a barre delle frequenze relative si avvicina a quello della legge di Poisson al crescere del numero di esperimenti.
Utilizzare il pulsante “Reset” per azzerare il conteggio degli esperimenti.
Somma di leggi di Poisson
Campiona $X_1 + X_2$
Reset
$X_1 = -$
$X_2 = -$
$X_1 + X_2 = -$
Esperimenti eseguiti: 0
Mostra $\mathrm{P}(\lambda_1 + \lambda_2)$
Valore atteso e varianza
$\lambda = $
$3.0$