Legge di Poisson

$\lambda = $ $3.0$

Definizione e descrizione

**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge di Poisson_ con parametro $\lambda > 0$ se il suo range è $R(X) = \mathbb{N} = \\{0, 1, 2, \ldots\\}$ e $$ \mathbb{P}(\\{X = k\\}) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad \text{per }k = 0, 1, 2, \ldots $$

Notazione. $X \sim \mathrm{P}(\lambda)$.

Fenomeni modellati. La legge di Poisson modella il numero di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio. Alcuni esempi:

numero di chiamate in un centralino in un’ora
numero di difetti in un metro di cavo
numero di errori tipografici per pagina
…

Limite di una binomiale

$\lambda = $ $3.0$

$n = $ $10$

$p = $ $0.30$

Mostra diagramma a barre della legge di Poisson

Istruzioni

–

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Istruzioni:

Scegliere il valore di $\lambda$ e $n$ con gli slider.
Il valore di $p$ viene calcolato automaticamente come $p = \frac{\lambda}{n}$.
Osservare come il diagramma a barre della legge binomiale si allinea a quello della legge di Poisson al crescere di $n$.

Simulazione

$\lambda = $ $3.0$

Esito: -

Esperimenti eseguiti: 0

Mostra diagramma a barre della legge

Istruzioni

–

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Istruzioni:

Scegliere il valore del parametro $\lambda$ tramite lo slider.
Campionare la variabile aleatoria $X \sim \mathrm{P}(\lambda)$ per osservarne gli esiti.
Il diagramma a barre delle frequenze relative viene aggiornato automaticamente.
Tenere premuto il bottone per campionare ripetutamente.
Osservare come il diagramma a barre delle frequenze relative si avvicina a quello della legge di Poisson al crescere del numero di esperimenti.
Utilizzare il pulsante “Reset” per azzerare il conteggio degli esperimenti.

Valore atteso e varianza

$\lambda = $ $3.0$

$\mathbb{E}[X] = \lambda = $ $3.0$

$\mathrm{Var}(X) = \lambda = $ $3.0$