Legge normale

$\mu = $ $0.0$

$\sigma^2 = $ $1.0$

Definizione e descrizione

**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge normale_ con parametri $\mu \in \mathbb{R}$ e $\sigma^2 > 0$ se ha funzione di densità di probabilità data da $$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x - \mu}{\sigma})^2} , \quad x \in \mathbb{R}. $$

Notazione. $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$.

Fenomeni modellati. La legge normale descrive molte grandezze naturali (e sarà fondamentale nel Teorema del Limite Centrale). Alcuni esempi:

errori di misura
altezze o pesi in una popolazione
rumore in un segnale
…

Simulazione

$\mu = $ $0.0$

$\sigma^2 = $ $1.0$

Esito: -

Esperimenti eseguiti: 0

Ampiezza bin = $0.25$ Mostra densita della legge

Istruzioni

–

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Istruzioni:

Scegliere i parametri $\mu$ e $\sigma^2$ con gli slider.
Campionare la variabile aleatoria $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ con il pulsante.
Osservare i punti dei campioni sull’asse e l’istogramma delle densità delle frequenze relative.
Modificare l’ampiezza dei bin per cambiare la precisione dell’istogramma.
Premere il pulsante “Reset” per azzerare i risultati.

Calcolatore di probabilità

$\mu = $ $0.0$

$\sigma^2 = $ $1.0$

$x_1 = $ $-1.00$

$x_2 = $ $1.00$

$\displaystyle \mathbb{P}(\{x_1 \leq X \leq x_2\}) = \displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{x_1}^{x_2} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x - \mu}{\sigma})^2} \, \mathrm{d} x =$

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere i parametri $\mu$ e $\sigma^2$ con gli slider.
Impostare i valori di $x_1$ e $x_2$ con lo slider doppio.
Osservare l’area colorata e la probabilità calcolata.

Valore atteso e varianza

$\mu = $ $0.0$

$\sigma^2 = $ $1.0$

$\mathbb{E}[X] = \mu = $ $0.00$

$\mathrm{Var}(X) = \sigma^2 = $ $1.00$