Legge Gamma
$\alpha = $
$2.0$
$\lambda = $
$1.0$
Definizione e descrizione
**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge Gamma_ con parametri $\alpha > 0$ e $\lambda > 0$ se ha funzione di densità di probabilità data da
$$
f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} \quad \text{per } x > 0, \qquad f(x) = 0 \quad \text{per } x \leq 0.
$$
Notazione. $X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \lambda)$.
Fenomeni modellati. La legge Gamma descrive tempi di attesa generali e somme di esponenziali. Alcuni esempi:
tempo totale per il completamento una sequenza di attività indipendenti
tempi di vita di componenti con tasso di guasto variabile
modelli di traffico o arrivi con più eventi
…
–
Funzione Gamma di Eulero. Per ogni $\alpha > 0$ si definisce
\(\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} y^{\alpha - 1} e^{-y} \mathrm{d} y .\)
Proprietà principali.
$\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1)\Gamma(\alpha - 1)$ per $\alpha > 1$.
$\Gamma(n) = (n-1)!$ per ogni $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$.
$\Gamma(1) = 1$.
$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$.
Simulazione
$\alpha = $
$2.0$
$\lambda = $
$1.0$
Campiona $X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \lambda)$
Reset
Esito: -
Esperimenti eseguiti: 0
Ampiezza bin =
$0.25$
Mostra densita della legge
–
Istruzioni :
Scegliere i parametri $\alpha$ e $\lambda$ con gli slider.
Campionare la variabile aleatoria $X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \lambda)$ con il pulsante.
Osservare i punti dei campioni sull’asse e l’istogramma delle densita delle frequenze relative.
Modificare l’ampiezza dei bin per cambiare la precisione dell’istogramma.
Premere il pulsante “Reset” per azzerare i risultati.
Calcolatore di probabilità
$\alpha = $
$2.0$
$\lambda = $
$1.0$
$x_1 = $
$1.00$
$x_2 = $
$4.00$
$\displaystyle \mathbb{P}(\{x_1 \leq X \leq x_2\}) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} \, \mathrm{d} x =$
–
Istruzioni :
Scegliere i parametri $\alpha$ e $\lambda$ con gli slider.
Impostare i valori di $x_1$ e $x_2$ con lo slider doppio.
Osservare l’area colorata e la probabilità calcolata.
Valore atteso e varianza
$\alpha = $
$2.0$
$\lambda = $
$1.0$