Legge chi-quadro

$n = $ $4$

Definizione e descrizione

**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge chi-quadro_ con $n$ gradi di libertà se $X \sim \mathrm{Gamma}\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right)$, cioè se ha funzione di densità di probabilità data da $$ f(x) = \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}} \quad \text{per } x > 0, \qquad f(x) = 0 \quad \text{per } x \leq 0. $$

Notazione. $X \sim \chi^2(n)$.

Fenomeni modellati. La legge chi-quadro compare in statistica e nei test di ipotesi. Alcuni esempi:

somma di quadrati di variabili normali standard
statistiche di test per la varianza
…

Simulazione

$n = $ $4$

Esito: -

Esperimenti eseguiti: 0

Ampiezza bin = $0.50$ Mostra densita della legge

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere i gradi di libertà $n$ con lo slider.
Campionare la variabile aleatoria $X \sim \chi^2(n)$ con il pulsante.
Osservare i punti dei campioni sull’asse e l’istogramma delle densità delle frequenze relative.
Modificare l’ampiezza dei bin per cambiare la precisione dell’istogramma.
Premere il pulsante “Reset” per azzerare i risultati.

Calcolatore di probabilita

$n = $ $4$

$x_1 = $ $2.00$

$x_2 = $ $8.00$

$\displaystyle \mathbb{P}(\{x_1 \leq X \leq x_2\}) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}} \, \mathrm{d} x =$

Istruzioni

–

Indietro

Istruzioni:

Scegliere i gradi di libertà $n$ con lo slider.
Impostare i valori di $x_1$ e $x_2$ con lo slider doppio.
Osservare l’area colorata e la probabilità calcolata.

Valore atteso e varianza

$n = $ $4$

$\mathbb{E}[X] = n = $ $4$

$\mathrm{Var}(X) = 2n = $ $8$