**Definizione.** Una variabile aleatoria $X$ si dice distribuita con _legge binomiale_ con parametri $n \\in \\mathbb{N}$ e $p \\in [0,1]$ se è identicamente distribuita a $X_1 + X_2 + \\ldots + X_n$ dove $X_i \sim \mathrm{Be}(p)$, con $i = 1, 2, \\ldots, n$, sono indipendenti.
Notazione. $X \sim \mathrm{B}(n, p)$.
Fenomeni modellati. La legge binomiale modella il numero di successi in $n$ tentativi indipendenti, ciascuno con probabilità di successo $p$. Alcuni esempi:
numero di teste in $n$ lanci di moneta
numero di risposte corrette in un quiz a scelta multipla con $n$ domande
numero di clienti che effettuano un acquisto in un gruppo di $n$ visitatori
numero di componenti difettosi in un campione di $n$ pezzi
…
Formula della legge binomiale
La funzione di massa di probabilità della legge binomiale è data da
$\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ è il coefficiente binomiale, che conta il numero di modi in cui si possono scegliere $k$ successi in $n$ prove,
$p^k$ è la probabilità di ottenere $k$ successi,
$(1 - p)^{n - k}$ è la probabilità di ottenere $n - k$ insuccessi.